Ujian Akhir Semester (UAS) merupakan momen penting bagi setiap siswa untuk mengukur sejauh mana pemahaman mereka terhadap materi yang telah dipelajari selama satu semester. Bagi siswa kelas 11, semester 2 seringkali menyajikan materi matematika yang lebih menantang dan memerlukan pemahaman konsep yang mendalam. Artikel ini hadir untuk membantu Anda mempersiapkan diri menghadapi UAS Matematika kelas 11 semester 2 dengan menyediakan beragam contoh soal beserta pembahasannya yang rinci.
Kita akan menjelajahi berbagai topik kunci yang umumnya tercakup dalam kurikulum matematika kelas 11 semester 2, mulai dari trigonometri lanjutan, dimensi tiga, statistika, peluang, hingga program linear. Dengan memahami contoh-contoh soal ini dan cara penyelesaiannya, diharapkan Anda dapat membangun kepercayaan diri dan meraih hasil yang optimal.
Topik 1: Trigonometri Lanjutan
Trigonometri merupakan salah satu pilar penting dalam matematika, dan di semester 2 kelas 11, materi ini seringkali diperdalam dengan identitas trigonometri, persamaan trigonometri, serta aplikasi dalam segitiga.
Contoh Soal 1.1:
Buktikan identitas trigonometri berikut:
$cos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x)$
Pembahasan:
Identitas trigonometri adalah persamaan yang selalu bernilai benar untuk setiap nilai variabel yang memenuhi domainnya. Untuk membuktikan identitas ini, kita dapat memulai dari salah satu sisi persamaan dan mencoba untuk mengubahnya menjadi sisi lainnya, atau menggunakan identitas dasar yang sudah diketahui.
Kita akan memulai dari sisi kiri persamaan: $cos(2x)$.
Kita bisa menggunakan identitas penjumlahan sudut untuk kosinus: $cos(A+B) = cos A cos B – sin A sin B$.
Dalam kasus ini, kita bisa menulis $2x$ sebagai $x+x$.
Maka, $cos(2x) = cos(x+x)$.
Mengganti $A=x$ dan $B=x$ ke dalam rumus identitas penjumlahan sudut:
$cos(x+x) = cos x cos x – sin x sin x$
$cos(2x) = cos^2 x – sin^2 x$
Terbukti bahwa sisi kiri sama dengan sisi kanan.
Contoh Soal 1.2:
Tentukan nilai dari $sin(75^circ)$.
Pembahasan:
Untuk menentukan nilai $sin(75^circ)$, kita dapat menggunakan identitas penjumlahan sudut untuk sinus: $sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$.
Kita bisa menulis $75^circ$ sebagai penjumlahan dari sudut-sudut istimewa yang nilainya sudah kita ketahui, misalnya $45^circ + 30^circ$.
Jadi, $sin(75^circ) = sin(45^circ + 30^circ)$.
Mengganti $A=45^circ$ dan $B=30^circ$ ke dalam rumus identitas penjumlahan sudut:
$sin(45^circ + 30^circ) = sin(45^circ) cos(30^circ) + cos(45^circ) sin(30^circ)$
Kita perlu mengingat nilai-nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa:
$sin(45^circ) = fracsqrt22$
$cos(30^circ) = fracsqrt32$
$cos(45^circ) = fracsqrt22$
$sin(30^circ) = frac12$
Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan:
$sin(75^circ) = left(fracsqrt22right) left(fracsqrt32right) + left(fracsqrt22right) left(frac12right)$
$sin(75^circ) = fracsqrt64 + fracsqrt24$
$sin(75^circ) = fracsqrt6 + sqrt24$
Contoh Soal 1.3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $cos(x) = frac12$ untuk $0^circ le x le 360^circ$.
Pembahasan:
Pertama, kita cari nilai sudut dasar yang kosinusnya adalah $frac12$. Sudut ini adalah $60^circ$.
Karena kosinus bernilai positif di kuadran I dan IV, maka kita perlu mencari solusi di kedua kuadran tersebut.
- Kuadran I: Sudutnya sama dengan sudut dasar, yaitu $x_1 = 60^circ$.
- Kuadran IV: Sudutnya adalah $360^circ – textsudut dasar$. Jadi, $x_2 = 360^circ – 60^circ = 300^circ$.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $60^circ, 300^circ$.
Topik 2: Dimensi Tiga
Materi dimensi tiga (geometri ruang) seringkali menantang karena melibatkan pemahaman visualisasi objek dalam ruang. Soal-soal biasanya berkaitan dengan jarak antara titik, garis, dan bidang, serta sudut antara keduanya.
Contoh Soal 2.1:
Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $a$. Tentukan jarak dari titik A ke titik G.
Pembahasan:
Untuk mencari jarak antara dua titik dalam kubus, kita bisa menggunakan teorema Pythagoras.
Pertama, kita cari jarak diagonal bidang dari titik A ke C, yaitu AC. Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B.
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$AC = sqrt2a^2 = asqrt2$
Selanjutnya, kita perhatikan segitiga ACG yang siku-siku di C. Kita ingin mencari AG.
$AG^2 = AC^2 + CG^2$
$AG^2 = (asqrt2)^2 + a^2$
$AG^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$
$AG = sqrt3a^2 = asqrt3$
Jadi, jarak dari titik A ke titik G adalah $asqrt3$. Ini adalah rumus untuk panjang diagonal ruang kubus.
Contoh Soal 2.2:
Diketahui sebuah limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas AB = 4 cm dan tinggi limas TO = 6 cm (O adalah titik pusat alas). Tentukan jarak dari titik T ke titik C.
Pembahasan:
Untuk mencari jarak TC, kita perlu mencari panjang diagonal alas AC terlebih dahulu.
AC adalah diagonal persegi ABCD. Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABC (siku-siku di B):
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$
$AC = sqrt32 = 4sqrt2$ cm.
Titik O adalah pusat alas, sehingga jarak OC adalah setengah dari panjang AC.
$OC = frac12 AC = frac12 (4sqrt2) = 2sqrt2$ cm.
Sekarang, perhatikan segitiga TOC yang siku-siku di O. Kita ingin mencari TC.
$TC^2 = TO^2 + OC^2$
$TC^2 = 6^2 + (2sqrt2)^2$
$TC^2 = 36 + (4 times 2)$
$TC^2 = 36 + 8 = 44$
$TC = sqrt44 = sqrt4 times 11 = 2sqrt11$ cm.
Jadi, jarak dari titik T ke titik C adalah $2sqrt11$ cm.
Topik 3: Statistika
Statistika di kelas 11 semester 2 biasanya mencakup penyajian data, ukuran pemusatan (mean, median, modus), ukuran penyebaran (jangkauan, kuartil, simpangan baku), dan pengolahan data berkelompok.
Contoh Soal 3.1:
Diberikan data nilai ulangan matematika 10 siswa: 7, 8, 6, 9, 5, 7, 8, 9, 7, 6.
Tentukan:
a. Mean (rata-rata)
b. Median (nilai tengah)
c. Modus (nilai yang paling sering muncul)
Pembahasan:
a. Mean:
Jumlahkan semua nilai dan bagi dengan jumlah data.
Jumlah nilai = $7 + 8 + 6 + 9 + 5 + 7 + 8 + 9 + 7 + 6 = 72$.
Jumlah data = 10.
Mean = $frac7210 = 7.2$.
b. Median:
Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9.
Karena jumlah data genap (10), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah.
Nilai tengah ke-5 adalah 7.
Nilai tengah ke-6 adalah 7.
Median = $frac7+72 = 7$.
c. Modus:
Cari nilai yang paling sering muncul dalam data.
Nilai 7 muncul 3 kali.
Nilai 6 muncul 2 kali.
Nilai 8 muncul 2 kali.
Nilai 9 muncul 2 kali.
Nilai 5 muncul 1 kali.
Modus = 7.
Contoh Soal 3.2:
Tabel berikut menunjukkan data berat badan (dalam kg) sekelompok siswa:
| Berat Badan (kg) | Frekuensi |
|---|---|
| 45 – 49 | 3 |
| 50 – 54 | 7 |
| 55 – 59 | 10 |
| 60 – 64 | 5 |
| 65 – 69 | 2 |
Tentukan mean dari data berkelompok tersebut.
Pembahasan:
Untuk menghitung mean dari data berkelompok, kita gunakan rumus:
$textMean = fracsum (f_i cdot x_i)sum f_i$
di mana $f_i$ adalah frekuensi kelas ke-i, dan $x_i$ adalah titik tengah kelas ke-i.
Langkah-langkahnya:
-
Hitung titik tengah ($x_i$) setiap kelas:
- Kelas 45 – 49: $x_1 = frac45+492 = 47$
- Kelas 50 – 54: $x_2 = frac50+542 = 52$
- Kelas 55 – 59: $x_3 = frac55+592 = 57$
- Kelas 60 – 64: $x_4 = frac60+642 = 62$
- Kelas 65 – 69: $x_5 = frac65+692 = 67$
-
Hitung hasil perkalian frekuensi dengan titik tengah ($f_i cdot x_i$) untuk setiap kelas:
- $f_1 cdot x_1 = 3 times 47 = 141$
- $f_2 cdot x_2 = 7 times 52 = 364$
- $f_3 cdot x_3 = 10 times 57 = 570$
- $f_4 cdot x_4 = 5 times 62 = 310$
- $f_5 cdot x_5 = 2 times 67 = 134$
-
Hitung jumlah semua frekuensi ($sum f_i$):
$sum f_i = 3 + 7 + 10 + 5 + 2 = 27$ -
Hitung jumlah semua hasil perkalian ($ sum (f_i cdot x_i) $):
$sum (f_i cdot x_i) = 141 + 364 + 570 + 310 + 134 = 1519$ -
Hitung Mean:
Mean = $frac151927 approx 56.26$ kg.
Topik 4: Peluang
Peluang merupakan cabang matematika yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Materi di kelas 11 biasanya mencakup permutasi, kombinasi, dan penerapan peluang dalam berbagai situasi.
Contoh Soal 4.1:
Dari 7 orang calon pengurus kelas yang terdiri dari 4 laki-laki dan 3 perempuan, akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ada berapa cara pemilihan tersebut jika:
a. Tidak ada batasan gender.
b. Ketua harus laki-laki.
Pembahasan:
a. Tidak ada batasan gender:
Dalam kasus ini, urutan pemilihan penting (ketua, wakil, sekretaris berbeda). Jadi, kita menggunakan permutasi.
Kita memilih 3 orang dari 7 orang.
Jumlah cara = $P(7, 3) = frac7!(7-3)! = frac7!4! = 7 times 6 times 5 = 210$ cara.
b. Ketua harus laki-laki:
Langkah 1: Pilih ketua. Ada 4 pilihan laki-laki untuk menjadi ketua.
Langkah 2: Setelah ketua terpilih (satu laki-laki), tersisa 6 orang (3 laki-laki dan 3 perempuan). Dari 6 orang ini, kita perlu memilih wakil ketua dan sekretaris.
Jumlah cara memilih wakil ketua dan sekretaris dari 6 orang yang tersisa = $P(6, 2) = frac6!(6-2)! = frac6!4! = 6 times 5 = 30$ cara.
Total cara pemilihan jika ketua harus laki-laki = (Jumlah pilihan ketua) $times$ (Jumlah cara memilih wakil dan sekretaris)
Total cara = $4 times 30 = 120$ cara.
Contoh Soal 4.2:
Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil 3 bola sekaligus dari kotak tersebut, tentukan peluang terambilnya 2 bola merah dan 1 bola biru.
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung jumlah total cara mengambil 3 bola dari 8 bola.
Karena urutan pengambilan tidak penting (diambil sekaligus), kita gunakan kombinasi.
Jumlah total kombinasi = $C(8, 3) = frac8!3!(8-3)! = frac8!3!5! = frac8 times 7 times 63 times 2 times 1 = 8 times 7 = 56$ cara.
Langkah 2: Hitung jumlah cara mengambil 2 bola merah dari 5 bola merah.
Jumlah kombinasi bola merah = $C(5, 2) = frac5!2!(5-2)! = frac5!2!3! = frac5 times 42 times 1 = 10$ cara.
Langkah 3: Hitung jumlah cara mengambil 1 bola biru dari 3 bola biru.
Jumlah kombinasi bola biru = $C(3, 1) = frac3!1!(3-1)! = frac3!1!2! = 3$ cara.
Langkah 4: Hitung jumlah cara terambilnya 2 bola merah DAN 1 bola biru.
Jumlah cara = (Jumlah kombinasi bola merah) $times$ (Jumlah kombinasi bola biru)
Jumlah cara = $10 times 3 = 30$ cara.
Langkah 5: Hitung peluangnya.
Peluang = $fractextJumlah cara terambilnya 2 bola merah dan 1 bola birutextJumlah total cara mengambil 3 bola$
Peluang = $frac3056 = frac1528$.
Topik 5: Program Linear
Program linear berkaitan dengan pencarian nilai optimal (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi tujuan, dengan mempertimbangkan kendala-kendala yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear.
Contoh Soal 5.1:
Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan $f(x, y) = 5x + 3y$ pada daerah himpunan penyelesaian yang dibatasi oleh pertidaksamaan:
$x + y le 10$
$2x + y le 15$
$x ge 0$
$y ge 0$
Pembahasan:
Langkah 1: Gambarkan daerah himpunan penyelesaian (DHP).
Kita perlu mencari titik potong dari garis-garis batas:
- Garis 1: $x + y = 10$. Titik potong sumbu x (y=0): (10, 0). Titik potong sumbu y (x=0): (0, 10).
- Garis 2: $2x + y = 15$. Titik potong sumbu x (y=0): (7.5, 0). Titik potong sumbu y (x=0): (0, 15).
Karena $x ge 0$ dan $y ge 0$, daerah DHP berada di kuadran I. Uji titik (0,0) untuk menentukan daerah arsir:
- $0 + 0 le 10$ (Benar, arsir ke arah (0,0))
- $2(0) + 0 le 15$ (Benar, arsir ke arah (0,0))
Daerah DHP dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, garis $x+y=10$, dan garis $2x+y=15$.
Langkah 2: Tentukan titik-titik sudut DHP.
Titik-titik sudut yang perlu kita cari adalah perpotongan dari garis-garis batas.
- Titik O: (0, 0) (perpotongan sumbu x dan sumbu y)
- Titik A: (7.5, 0) (perpotongan garis $2x+y=15$ dengan sumbu x)
- Titik B: (0, 10) (perpotongan garis $x+y=10$ dengan sumbu y, namun harus dicek apakah ini termasuk DHP. Ternyata titik (0,10) tidak memenuhi $2x+y le 15$ karena $2(0)+10=10 le 15$. Jadi titik (0,10) adalah salah satu titik sudut)
- Titik C: Perpotongan garis $x + y = 10$ dan $2x + y = 15$.
Kurangkan persamaan 1 dari persamaan 2:
$(2x+y) – (x+y) = 15 – 10$
$x = 5$.
Substitusikan $x=5$ ke $x+y=10$:
$5 + y = 10 implies y = 5$.
Jadi, titik C adalah (5, 5).
Titik-titik sudut DHP adalah: (0,0), (7.5, 0), (5, 5), dan (0, 10).
Langkah 3: Substitusikan koordinat titik-titik sudut ke dalam fungsi tujuan $f(x, y) = 5x + 3y$.
- Di titik (0, 0): $f(0, 0) = 5(0) + 3(0) = 0$.
- Di titik (7.5, 0): $f(7.5, 0) = 5(7.5) + 3(0) = 37.5$.
- Di titik (5, 5): $f(5, 5) = 5(5) + 3(5) = 25 + 15 = 40$.
- Di titik (0, 10): $f(0, 10) = 5(0) + 3(10) = 30$.
Langkah 4: Tentukan nilai maksimum.
Nilai maksimum dari $f(x, y)$ adalah 40, yang dicapai pada titik (5, 5).
Penutup:
Mempelajari contoh-contoh soal di atas adalah langkah awal yang baik untuk mempersiapkan diri menghadapi UAS Matematika kelas 11 semester 2. Ingatlah bahwa pemahaman konsep adalah kunci utama. Latihlah diri Anda dengan berbagai variasi soal dari setiap topik, jangan ragu untuk bertanya kepada guru jika ada materi yang belum dipahami, dan tetap semangat dalam belajar. Dengan persiapan yang matang, Anda pasti dapat meraih hasil yang memuaskan. Selamat belajar dan semoga sukses!
Tinggalkan Balasan